출처 : www.math.umn.edu/~jodeit/course/Peano3.pdf
THE NATURAL NUMBERS
자연수
We are ready for the official introduction of the natural numbers. I ask you to suspend belief in the truth of the things you already know about the natural numbers. I insist you keep every bit of your knowledge - just stop taking things for granted. “The Natural Numbers” is now a name only, to be used in the following list of mathematical statements, each of which you are asked to regard as true.
우리는 자연수에 대한 공식적인 입문(개론)의 준비가 되어 있다. 나는 당신에게 당신이 자연수에 대해 이미 알고 있는 것들의 진실성에 대한 믿음을 보류할 것을 요청한다. 나는 당신이 당신 지식의 모든 낱낱을 붙들어 둘 것을 강력히 주장한다 - 그것들을 당연시 하는 것은 확실히 중단하자. "자연수"는 이제 하나의 명칭일 뿐이다. 그 명칭은 아래의 수학적 진술들의 목록에서 사용될 것이며, 당신에게는 그 진술들의 각각을 참으로 간주할 필요가 있다.
This is where the course really starts. What came before was “preliminary.” We still have some preliminary stuff to do. But the natural numbers will literally be the foundation on which are built the ordinary integers, the rational numbers, and then the real and the complex numbers, which all form the foundations for Calculus.
그 교육 과정은 실제로 여기서 시작한다. 앞서 나왔던 것은 "예비적인 것"이었다. 우리는 아직 해야할 몇몇 예비적인 것들을 가지고 있다. 그러나 자연수는 문자 그대로 기초가 될 것이다. 그 기초 위에 정수, 유리수, 그리고 실수와 복소수가 세워진다. 그 모든 수들은 계산을 위한 기초를 이루는 것들이다.
(01) The Peano Postulates (or Axioms)
(01) 페아노 공준 (혹은 공리)
We assume that the four following mathematical statements are true.
우리는 다음 네 가지 수학적 진술들이 참이라고 가정한다.
(01A) There exists a non-empty set N, whose elements we will call natural numbers.
(01A) 공집합이 아닌 하나의 집합 N이 있다. 우리는 그 집합의 원소들을 자연수라 부를 것이다.
(01B) There exists a one-to-one function s : N → N, that we will call the successor function.
(01B) 하나의 일대일 대응 함수 s : N → N이 있다. 우리는 그 함수를 후속자 함수라고 부를 것이다.
(01C) There exists an element 0 ∈ N such that 0 is not in the image, s(N), of s.
(01C) N에 포함되는(0 ∈ N) 하나의 원소 0이 있다. 그 같은 0은 s집합의 상인 s(N) 내에 없다.
(01D) For all subsets S of N, if S contains 0, and s(S) ⊆ S, then S = N.
(01D) N의 모든 부분집합 S에 대해서, 만일 S가 0을 포함하고, s(S)가 S에 동치이거나 포함된다면(s(S) ⊆ S), S는 N이다.
Here is a restatement of these axioms, in a less dense form:
여기 이 공리들에 대한 조금은 덜 난해한 형식의 재진술이 있다:
(02-1) There exists a non-empty set N, called the set of natural numbers, and a function s on N, called the successor function, whose value, s(n), at any n in N, is called the successor of n, such that (02-2) Different elements of N have different successors (s is one-to-one), (02-3) There is an element, 0, of N that is not the successor of any element of N (0 is not in the image of s), (02-4) Every subset S of N that contains 0 and also contains the successor of each element of S must be equal to N (if S contains 0, and s(S) ⊆ S, then S = N).
(02-1) 공집합이 아닌 집합 N이 있다. N은 자연수의 집합으로 부른다. 그리고 N에 대해 함수 s가 있다. 함수 s는 후속자 함수라 부른다. 함수 s의 값 s(n)은, N 내에서 어떠한 n에서든, n의 후속자라고 부른다. (02-2) N의 그러한 서로 다른 원소들은 서로 다른 후속자들을 가진다 (s는 일대일 대응이다). (02-3) N의 원소 0이 있다. 0은 N의 어떠한 원소에 대해서도 후속자가 아니다 (0은 s의 상 내에 없다). (02-4) 0을 포함하고 또한 S의 각 원소들에 대한 후속자를 포함하는 모든 부분집합 S는 반드시 N에 동치여야만 한다 (만일 S가 0을 포함하고, s(S) ⊆ S라면, S = N).
According to the Encyclopedia Britannica, 15th edition, the five Peano postulates are:
브리트니 백과 15번째 편집본에 따르면, 다섯 가지 페아노 공준들이 있다:
1. 0 is a number.
1. 0은 수이다.
2. The successor of any number is also a number.
2. 어떤 수의 후속자든 또한 수이다.
3. No two distinct numbers have the same successor.
3. 그 어떤 별개의 두 수도 동일한 후속자를 가지지 않는다.
4. 0 is not the successor of any number.
4. 0은 그 어떤 수의 후속자도 아니다.
5. If any property is possessed by 0 and also by the successor of any number having that property, then all numbers have that property.
5. 만일 어떤 특성이든 0에 의해 그리고 또한 그 특성을 지닌 어떤 수의 후속자에 의해 소유된다면, 모든 수는 그 특성을 지닌다.
Postulate 5, (01D) and (02-4) are certainly different. But all three versions amount to the same thing mathematically, when expressed in terms of set–selector notation. For, “property” has to refer to a mathematical statement P(n) about elements n of N. Thus, {n ∈ N : P(n) is true } is the set of all elements of N that possess the property P(n). If the “property” satisfies the conditions of postulate 5, then 0 ∈ {n ∈ N : P(n) is true }, and s({n ∈ N : P(n) is true }) ⊆ {n ∈ N : P(n) is true }, so {n ∈ N : P(n) is true } = N. On the other hand, let S be a subset of N. We define the “property (of n)” to be that n belongs to S. That is, P(n) is the statement “n ∈ S.” This “property” is then covered by postulate 5.
공준 5, (01D)와 (02-4)는 확실하게 다르다. 그러나 세 가지 설명들 모두 수학적으로 동일한 것에 이르게 된다, 집합-선택자 기수법이란 용어로 표현될 때. 왜냐하면, "특성"은 N의 원소들 n에 대한
수학적 진술 P(n)를 나타내야 하기 때문이다. 만일 그 "특성"이 공준 5의 조건들을 만족시킨다면,
0 ∈ {n ∈ N : P(n) 가 참 }, 그리고 s({n ∈ N : P(n) 가 참 }) ⊆ {n ∈ N : P(n) 가 참 }, 그래서 {n ∈ N : P(n) 가 참 } = N 이다. 다른 한편, S를 N의 한 부분집합으로 두자. 우리는 그 "(n의) 특성"을 n이 S에 속한다는 것으로 정의한다. 즉, P(n)은 "
n ∈ S"라는 진술이다. 이 "특성"은 그래서 공준 5에 의해 포섭된다.
Postulate 5 is about sets of natural numbers. You probably did not bring this postulate with you to this course, at least not explicitly. And yet, it will seem natural to you shortly, I hope. Here are the three versions of Postulate 5, collected in one place:
공준 5는 자연수 집합들에 대한 것이다. 당신은 아마도 이 공준을 갖고 이 과정을 수행하진 않았을 것이다, 최소한 명백하게는 아닐 것이다. 그리고 아직, 그것이 당신에게 곧 자연스러워 보일 것이다, 내가 희망하기로는. 여기 공준 5의 세 판이 있다, 한 자리에 모은:
For all subsets P of N, if P contains the element 0, and s(P) ⊆ P, then P = N; Every subset of N that contains 0 and also contains the successor of each of its elements must be equal to N; If any property is possessed by 0 and also by the successor of any number having that property, then all numbers
have that property.
N의 모든 부분집합 P에 대해서, 만일 P가 원소 0을 포함한다면, 그리고
s(P) ⊆ P라면, P = N이다; 0을 포함하고또한 그 원소들의 각각에 대한 후속자를 포함하는 N의 모든 각각의 부분집합은 N과 동치여야만 한다; 만일 어떤 특성이든 0에 의해 그리고 또한 그 특성을 지니는 어떤 수든지 그에 대한 후속자에 의해 소유된다면, 모든 수는 그 특성을 지닌다.
This Postulate is called The Principle of Mathematical Induction.
이 공준은 수학적 귀납법의 원리라 부른다.
-蟲-